空間情報システム #10

数理最適化超入門

田村一軌

佐賀大学経済学部

2026年6月19日

Q. 今日、大学に来たルートは？

なぜそのルートを選びましたか？

時間が短い？　乗り換えが楽？　景色がいい？

時刻・体力・費用の制約の中で、選んでいたと思います。

→ 制約のもとで目的を最良にする選択 ＝これが最適化です

最適化の3要素

概念	数学の言葉	通学の例
変えられない条件	制約条件	始業時刻・体力・費用
何を良くしたいか	目的関数	所要時間を最小化
何を決められるか	決定変数	ルート・出発時刻

最適化とは

制約のもとで、目的を最もよく達成する選択肢を見つけること

実はミクロ経済学でやっていた

消費者問題（ミクロ）

予算制約のもとで
効用を最大化する
\(x_1, x_2\)の数量を決める

最適化問題（一般形）

制約条件のもとで
目的関数を最大化する
決定変数を求める

ヒント

💡 ミクロ経済学＝最適化問題の応用だった！

例題：お菓子の効用最大化

週のおやつ予算は600円。
摂取カロリーは1,300 kcalまで。
クッキー🍪とチョコレート🍫、どちらをどれだけ買う？

	チョコ（1枚）	クッキー（1袋）
価格	150円	100円
カロリー	150 kcal	300 kcal
満足度	4	3

満足度の合計を最大にするには？

数式で書くと

決定変数

チョコ \(x\) 枚、クッキー \(y\) 袋　\((x,\, y \geq 0)\)

目的関数

\(\displaystyle\max\; 4x + 3y\) 　（満足度最大化）

制約条件①

\(150x + 100y \leq 600\) 　（予算制約）

制約条件②

\(150x + 300y \leq 1200\) 　（カロリー制約）

ノート

ミクロ経済学の「効用最大化問題」とまったく同じ構造です

グラフで書くと

viewof step = Object.assign(
  Inputs.radio(
    ["予算制約のみ", "カロリー制約を追加", "目的関数を動かす", "最適解を表示"],
    {value: "予算制約のみ", label: "表示"}
  ),
  { id: "step-input", style: "font-size: 1.6rem;" }
)

viewof uSlider = Object.assign(
  step === "最適解を表示"
    ? Inputs.range([1, 22], {value: 17, step: 1, label: "満足度 U = "})
    : step === "目的関数を動かす"
      ? Inputs.range([1, 22], {value: 8, step: 1, label: "満足度 U = "})
      : Inputs.range([1, 22], {value: 8, step: 1, label: "満足度 U = ", disabled: true}),
  { id: "uslider-input", style: "font-size: 1.6rem;" }
)

{
  const W = 1200, H = 560; // キャンパスサイズ
  const mx = 60, my = 20, mr = 40, mb = 55; // マージン
  const pw = W - mx - mr, ph = H - my - mb; // プロット領域のサイズ

  const xmax = 9, ymax = 7.5;
  const sx = x => mx + (x / xmax) * pw;
  const sy = y => my + ph - (y / ymax) * ph;

  function utilityClipped(U) {
    // 4x+3y=U → y=(U-4x)/3、傾き -4/3
    const pts = [];
    const y_at_x0 = U / 3;
    const x_at_y0 = U / 4;
    if (y_at_x0 <= ymax) pts.push([0, y_at_x0]);
    else pts.push([(U - 3*ymax)/4, ymax]);
    if (x_at_y0 <= xmax) pts.push([x_at_y0, 0]);
    else pts.push([xmax, (U - 4*xmax)/3]);
    return pts;
  }

  const feasible = [[0,0],[4,0],[2,3],[0,4],[0,0]];
  const showCal = step !== "予算制約のみ";
  const showU   = step === "目的関数を動かす" || step === "最適解を表示";
  const showOpt = step === "最適解を表示";
  const U = uSlider;

  const svg = d3.create("svg").attr("width", W).attr("height", H)
    .style("font-family", "sans-serif").style("font-size", "16px");

  const regionPts = showCal ? feasible : [[0,0],[4,0],[0,6],[0,0]];
  svg.append("polygon")
    .attr("points", regionPts.map(([x,y]) => `${sx(x)},${sy(y)}`).join(" "))
    .attr("fill", "#cce5ff").attr("opacity", 0.55);

    for(let i=1;i<=8;i++){
    // 縦線：y=0からymaxまで
    svg.append("line").attr("x1",sx(i)).attr("y1",sy(0)).attr("x2",sx(i)).attr("y2",sy(ymax))
        .attr("stroke","#ddd").attr("stroke-width",1);
    // 横線：x=0からxmaxまで
    svg.append("line").attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(i)).attr("x2",sx(xmax)).attr("y2",sy(i))
        .attr("stroke","#ddd").attr("stroke-width",1);
    }

  svg.append("line").attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(0)).attr("x2",sx(xmax)).attr("y2",sy(0))
    .attr("stroke","#333").attr("stroke-width",2.5);
  svg.append("line").attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(0)).attr("x2",sx(0)).attr("y2",sy(ymax))
    .attr("stroke","#333").attr("stroke-width",2.5);

  for(let i=1;i<=8;i++){
    svg.append("text").attr("x",sx(i)).attr("y",sy(0)+22).attr("text-anchor","middle")
      .attr("font-size","16px").text(i);
    svg.append("line").attr("x1",sx(i)).attr("y1",sy(0)).attr("x2",sx(i)).attr("y2",sy(0)+6)
      .attr("stroke","#333").attr("stroke-width",1.5);
  }
  for(let i=1;i<=7;i++){
    svg.append("text").attr("x",sx(0)-12).attr("y",sy(i)+5).attr("text-anchor","end")
      .attr("font-size","16px").text(i);
    svg.append("line").attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(i)).attr("x2",sx(0)-6).attr("y2",sy(i))
      .attr("stroke","#333").attr("stroke-width",1.5);
  }
  svg.append("text").attr("x",sx(xmax)-80).attr("y",sy(0)-10)
    .attr("font-size","18px").attr("font-weight","bold").text("x（チョコ）");
  svg.append("text").attr("x",sx(0)+10).attr("y",sy(ymax)+15)
    .attr("font-size","18px").attr("font-weight","bold").text("y（クッキー）");

  // 予算制約: 150x+100y=600 → (0,6)〜(4,0)
  svg.append("line")
    .attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(6)).attr("x2",sx(4)).attr("y2",sy(0))
    .attr("stroke","#1a6fc4").attr("stroke-width",3);
  svg.append("text").attr("x",sx(1)).attr("y",sy(5)-14)
    .attr("fill","#1a6fc4").attr("font-size","18px").attr("font-weight","bold")
    .text("予算制約");

  // カロリー制約: 150x+300y=1200 → (0,4)〜(8,0)
  if(showCal){
    svg.append("line")
      .attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(4)).attr("x2",sx(8)).attr("y2",sy(0))
      .attr("stroke","#e07b00").attr("stroke-width",3);
    svg.append("text").attr("x",sx(5)).attr("y",sy(1.5)-14)
      .attr("fill","#e07b00").attr("font-size","18px").attr("font-weight","bold")
      .text("カロリー制約");
  }

  if(showU){
    const [[x1,y1],[x2,y2]] = utilityClipped(U);
    svg.append("line")
      .attr("x1",sx(x1)).attr("y1",sy(y1)).attr("x2",sx(x2)).attr("y2",sy(y2))
      .attr("stroke","#22a862").attr("stroke-width",3).attr("stroke-dasharray","8,5");
    svg.append("text").attr("x",sx((x1+x2)/2)+10).attr("y",sy((y1+y2)/2)-20)
      .attr("fill","#22a862").attr("font-size","16px").attr("font-weight","bold")
      .text(`4x + 3y = ${U}`);
  }

  // 頂点：制約追加時はA,C（グレー）
  const pts = showCal
    ? [
        {x:4, y:0, label:"A(4, 0)", opt:false},
        {x:0, y:4, label:"C(0, 4)", opt:false},
        ...(showOpt ? [{x:2, y:3, label:"B(2, 3)", opt:true}] : [])
      ]
    : [
        {x:4, y:0, label:"A(4, 0)", opt:false},
        {x:0, y:6, label:"C(0, 6)", opt:false}
      ];

  pts.forEach(({x,y,label,opt})=>{
    svg.append("circle").attr("cx",sx(x)).attr("cy",sy(y)).attr("r", opt?11:7)
      .attr("fill", opt?"#e63946":"#555").attr("stroke","white").attr("stroke-width",2);
    svg.append("text").attr("x",sx(x)+15).attr("y",sy(y)+5)
      .attr("fill", opt?"#e63946":"#333").attr("font-size","15px")
      .attr("font-weight", opt?"bold":"normal").text(label);
  });

  return svg.node();
}

なぜ「角かど」が最適解になるのか？

目的関数（満足度）は直線 → 勾配が一定
実行可能領域は凸多角形
満足度が大きくなる方向に直線をスライドさせると…
最後に触れるのは必ず頂点（コーナー）

ノート

これが線形計画法の基本定理です

現実への応用

分野	最適化の問題
企業経営	生産計画／資源配分／メディアミックス
政策	予算配分・社会厚生の最大化
金融	ポートフォリオ最適化（リスク vs リターン）
サプライチェーン	コスト最小の輸送計画
AI・機械学習	損失関数の最小化（モデルの学習）

線形計画法「だけでは」解けない問題もある

変数が整数でなければならない → 整数計画問題
目的関数が非線形 → 非線形計画問題
不確実性がある → 確率的最適化
変数が数百万個 → 大規模最適化

→ 次々に手法が開発され、多くの問題が解けるようになっています

ここまでのまとめ

最適化＝制約のもとで目的を達成する
ミクロ経済学はすでに最適化問題だった
お菓子の例でグラフを使って解いた
現実の経済・ビジネス問題に直結している

組み合わせ最適化

線形計画から整数計画へ

お菓子の例：クッキー \(x = 3.7\) 袋…買えない
変数が整数でなければならない制約を加えると？

線形計画（LP）

実行可能領域 = 連続な多角形
最適解は必ず頂点
比較的速く解ける

整数計画（IP）

実行可能解 = 格子点のみ
LP の最適解とずれることがある
はるかに難しい

LP と IP の違いを図で見る

{
  const W = 1100, H = 460;
  const mx = 55, my = 20, mr = 30, mb = 50;
  const pw = W - mx - mr, ph = H - my - mb;
  const xmax = 9, ymax = 5;
  const sx = x => mx + (x / xmax) * pw;
  const sy = y => my + ph - (y / ymax) * ph;

  const svg = d3.create("svg").attr("width", W).attr("height", H)
    .style("font-family", "sans-serif");

  // 実行可能領域: (0,0),(4,0),(2,3),(0,4)
  const region = [[0,0],[4,0],[2,3],[0,4]];
  svg.append("polygon")
    .attr("points", region.map(([x,y]) => `${sx(x)},${sy(y)}`).join(" "))
    .attr("fill","#cce5ff").attr("opacity",0.4);

  // 予算制約: 150x+100y=600 → (0,6)〜(4,0)
  svg.append("line")
    .attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(6)).attr("x2",sx(4)).attr("y2",sy(0))
    .attr("stroke","#1a6fc4").attr("stroke-width",1.5).attr("stroke-dasharray","4,3").attr("opacity",0.7);
  svg.append("text").attr("x",sx(1.8)).attr("y",sy(3.2))
    .attr("fill","#1a6fc4").attr("font-size","13px").text("予算制約");

  // カロリー制約: 150x+300y=1200 → (0,4)〜(8,0)
  svg.append("line")
    .attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(4)).attr("x2",sx(8)).attr("y2",sy(0))
    .attr("stroke","#e07b00").attr("stroke-width",1.5).attr("stroke-dasharray","4,3").attr("opacity",0.7);
  svg.append("text").attr("x",sx(5)).attr("y",sy(1.5))
    .attr("fill","#e07b00").attr("font-size","13px").text("カロリー制約");

  // 格子点（x=0〜8, y=0〜4）
  for(let i=0;i<=8;i++)
    for(let j=0;j<=4;j++){
      const inLP = 150*i+100*j<=600 && 150*i+300*j<=1200 && i>=0 && j>=0;
      svg.append("circle").attr("cx",sx(i)).attr("cy",sy(j)).attr("r",inLP?6:3)
        .attr("fill",inLP?"#1a6fc4":"#ccc").attr("opacity",inLP?0.8:0.4);
    }

  // 軸
  svg.append("line").attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(0)).attr("x2",sx(xmax)).attr("y2",sy(0))
    .attr("stroke","#333").attr("stroke-width",2);
  svg.append("line").attr("x1",sx(0)).attr("y1",sy(0)).attr("x2",sx(0)).attr("y2",sy(ymax))
    .attr("stroke","#333").attr("stroke-width",2);
  for(let i=0;i<=8;i++){
    svg.append("text").attr("x",sx(i)).attr("y",sy(0)+20).attr("text-anchor","middle")
      .attr("font-size","14px").text(i);
  }
  for(let j=0;j<=4;j++){
    svg.append("text").attr("x",sx(0)-10).attr("y",sy(j)+5).attr("text-anchor","end")
      .attr("font-size","14px").text(j);
  }

  // LP最適解 (2,3)
  svg.append("circle").attr("cx",sx(2)).attr("cy",sy(3)).attr("r",12)
    .attr("fill","none").attr("stroke","#e63946").attr("stroke-width",3);
  svg.append("text").attr("x",sx(2)+16).attr("y",sy(3)-10)
    .attr("fill","#e63946").attr("font-size","15px").attr("font-weight","bold")
    .text("LP最適解 (2,3) ✓ 整数！");

  // 軸ラベル
  svg.append("text").attr("x",sx(xmax)-20).attr("y",sy(0)-8)
    .attr("font-size","15px").attr("font-weight","bold").text("x（チョコ）");
  svg.append("text").attr("x",sx(0)+8).attr("y",sy(ymax)+14)
    .attr("font-size","15px").attr("font-weight","bold").text("y（クッキー）");

  // 凡例
  svg.append("circle").attr("cx",sx(6)).attr("cy",sy(4.3)).attr("r",6)
    .attr("fill","#1a6fc4").attr("opacity",0.8);
  svg.append("text").attr("x",sx(6)+12).attr("y",sy(4.3)+5)
    .attr("font-size","14px").text("整数の実行可能解");

  return svg.node();
}

今回はたまたま LP 最適解が整数 → 一般にはずれる

整数計画問題の例：グループ分け

8人の学生を2つのグループに分けたい。
過去のグループワークですでに同じグループだったペアをできるだけ少なくするには？

決定変数：\(x_{ig} \in \{0, 1\}\quad i=\{1,2,\ldots , 8\}\quad g=\{1, 2\}\)

\[x_{ig} = \begin{cases} 1 & \text{学生} i \text{ がグループ} g \text{ に入る} \\ 0 & \text{それ以外} \end{cases}\]

変数の数：8人 × 2グループ = 16個の0/1変数

決定変数

g \ i	1	2	3	4	5	6	7	8
1	\(x_{11}\)	\(x_{21}\)	\(x_{31}\)	\(x_{41}\)	\(x_{51}\)	\(x_{61}\)	\(x_{71}\)	\(x_{81}\)
2	\(x_{12}\)	\(x_{22}\)	\(x_{32}\)	\(x_{42}\)	\(x_{52}\)	\(x_{62}\)	\(x_{72}\)	\(x_{82}\)

例えば、グループ1={1, 2, 3, 4}、グループ2={5, 6, 7, 8}のとき、

g \ i	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1	1	1	0	0	0	0
2	0	0	0	0	1	1	1	1

決定変数

g \ i	1	2	3	4	5	6	7	8
1	\(x_{11}\)	\(x_{21}\)	\(x_{31}\)	\(x_{41}\)	\(x_{51}\)	\(x_{61}\)	\(x_{71}\)	\(x_{81}\)
2	\(x_{12}\)	\(x_{22}\)	\(x_{32}\)	\(x_{42}\)	\(x_{52}\)	\(x_{62}\)	\(x_{72}\)	\(x_{82}\)

グループ1={1, 3, 5, 7}、グループ2={2, 4, 6, 8}のとき、

g \ i	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	1	0	1	0	1	0
2	0	1	0	1	0	1	0	1

制約条件

制約①：各学生は必ずどちらか1つのグループに所属

\[x_{i1} + x_{i2} = \sum_gx_{ig} = 1 \quad \text{（全員分）}\]

制約②：グループサイズ（上限4人）

\[x_{1g} + x_{2g} + \cdots x_{8g} = \sum_ix_{ig} \leq 4 \quad \text{（グループごと）}\]

目的関数

目的関数：過去ペアの重複を最小化

補助変数 \(y_{ij} \in \{0,1\}\) を導入：

\[y_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{学生}i\text{と}j\text{が今回同じグループに入る} \\ 0 & \text{それ以外} \end{cases}\]

\[\min \sum_{i,j} w_{ij} \cdot y_{ij}\]

\(w_{ij}\)：過去に同じグループだった回数（\(y_{ij}\) と \(x_{ig}\) の関係は制約式で規定）

手作業でやってみよう

【練習1】8人・履歴1回・2チーム（4+4）

過去のチーム分け：チームX = {A, B, C, D}、チームY = {E, F, G, H}
できるだけ過去ペアが少なくなるよう2チームに分けてください。

チーム1	チーム2
?	?

スコア（残った過去ペアの数）：____ 組

手作業でやってみよう

【練習2】8人・履歴2回・2チーム（4+4）

過去のチーム分け
- 1回目：チームX = {A, B, C, D}、チームY = {E, F, G, H}
- 2回目：チームX’ = {A, D, E, H}、チームY’ = {B, C, F, G}

できるだけ過去ペアが少なくなるよう2チームに分けてください。

チーム1（4人）	チーム2（4人）
?	?

スコア：____ 組　←「これが本当に最小か」自信を持って言えますか？

コンピュータで解くと…

スコアは何でしたか？

最適値＝ スコア 8（これが証明された最小値）
でも…スコア8を達成する並べ方は9通りあります
「正解はこれ」だけではなく「最適値が8であること（それよりも良い解がないこと）が証明された」ことも大事

練習2：最適解は9通り

スコア8を達成するすべての組み合わせ：

	チーム1	チーム2
①	A, B, E, F	C, D, G, H
②	A, B, E, G	C, D, F, H
③	A, B, F, H	C, D, E, G
④	A, B, G, H	C, D, E, F
⑤	A, C, E, F	B, D, G, H
⑥	A, C, E, G	B, D, F, H
⑦	A, C, F, H	B, D, E, G
⑧	A, C, G, H	B, D, E, F
⑨	A, D, F, G	B, C, E, H

ノート

どれを選んでも同じ「最適」。追加条件（男女比など）で絞ることもできる

実践：来週からのグループ分け

24人の学生を6人ずつ4つのグループに分ける
何通りの分け方がある？

\[ \frac{{}_{24}C_{6}\times {}_{18}C_{6}\times {}_{12}C_{6}}{4!} = \text{9,663,972,130} \]

96.6億通りの計算が必要（全ての分け方について過去ペア数の合計を計算するには、コンピュータを使っても数分〜数時間必要）
整数計画を使えば、短時間で最適解を求めることができる

実践：来週からのグループ分け

過去2回の履歴をもとに整数計画問題を解く（実演）

残った過去ペア：8組（すべて1回だけの重複）
これが証明された最小値

これも最適解は複数存在する

定式化をΣ記号でまとめると

\[\min \sum_{i < j} w_{ij} \cdot y_{ij}\]

\[\text{s.t.} \quad \sum_{g} x_{ig} = 1 \quad \forall i\]

\[\sum_{i} x_{ig} \leq 6 \quad \forall g\]

\[y_{ij} \geq x_{ig} + x_{jg} - 1 \quad \forall i,j,g\]

\[x_{ig},\, y_{ij} \in \{0, 1\}\]

さっきの表で見ていたものを、まとめて書くとこうなります

空間最適化

空間最適化へ：「人」の最適化から「場所」の最適化へ

グループ分け：人をグループに割り当てる
施設配置問題：人を施設に割り当てる
- どこに施設を置けば住民の移動距離が最小になるか
輸送問題：施設と施設を割り当てる
- 工場から倉庫への輸送コストを最小化
巡回セールスマン問題（TSP）：人を経路に割り当てる
- 全都市を最短経路で回るルートを探す

→ すべて「制約のもとで目的を最小化／最大化する」整数計画問題

施設配置問題

福岡市内に宅配ピザ店を3店舗新設する。
商圏人口を最大化するには、どこに置く？

決定変数：各候補地に置くか否か（0/1）
目的関数：カバーされる人口の最大化
制約：出店数 = 3

→ 1店舗だけ出店する場合とは考え方が変わりますよね。

巡回セールスマン問題（TSP）

\(n\) 都市をすべて1回ずつ訪問して出発地に戻る、最短ルートは？

{
  const W = 900, H = 380;
  const svg = d3.create("svg").attr("width", W).attr("height", H)
    .style("font-family","sans-serif");

  const cities = [
    {name:"東京", x:720, y:140},
    {name:"大阪", x:480, y:220},
    {name:"名古屋", x:580, y:190},
    {name:"福岡", x:180, y:270},
    {name:"札幌", x:730, y:40},
    {name:"仙台", x:750, y:110},
    {name:"広島", x:330, y:250},
    {name:"那覇", x:160, y:360},
  ];

  const route = [0,5,4,1,2,6,3,7];

  for(let k=0;k<route.length;k++){
    const a = cities[route[k]], b = cities[route[(k+1)%route.length]];
    svg.append("line")
      .attr("x1",a.x).attr("y1",a.y).attr("x2",b.x).attr("y2",b.y)
      .attr("stroke","#1a6fc4").attr("stroke-width",2).attr("opacity",0.6);
  }

  cities.forEach(c=>{
    svg.append("circle").attr("cx",c.x).attr("cy",c.y).attr("r",10)
      .attr("fill","#e63946").attr("stroke","white").attr("stroke-width",2);
    svg.append("text").attr("x",c.x+13).attr("y",c.y+5)
      .attr("font-size","15px").attr("font-weight","bold").text(c.name);
  });

  return svg.node();
}

8都市：全経路数 = 7! / 2 = 2,520通り → 都市が増えると経路数は爆発的に増加
コンピュータを使っても、大きなスケールの問題は困難

まとめ

線形計画：連続変数、グラフで解ける
整数計画：0/1変数、組み合わせ爆発、でも定式化は同じ発想
グループ分けも施設配置もTSPも同じ枠組み
GISと組み合わせると空間的な最適化へ

ヒント

次回：空間最適化の考え方を使って、自転車観光ルートを考えてみよう