散布図・相関係数・単回帰分析

公開

2026年6月23日

更新日

2026年7月2日

連続変数の二変量統計ついて学びます。

パッケージの読み込み

library(tidyverse)

データの準備

学習時間（時間/日）とテスト得点（点）の調査データ（n = 80）を想定する。

set.seed(123)
n <- 80

df <- tibble(
  study_hours = runif(n, min = 0, max = 8),
  noise       = rnorm(n, mean = 0, sd = 8)
) |>
  mutate(
    test_score = 40 + 5 * study_hours + noise,
    test_score = pmin(test_score, 100)   # 上限 100 点
  ) |>
  select(-noise)

summary(df)
  study_hours         test_score   
 Min.   :0.004998   Min.   :32.84  
 1st Qu.:2.088011   1st Qu.:48.20  
 Median :3.765116   Median :59.79  
 Mean   :4.011478   Mean   :60.06  
 3rd Qu.:6.043770   3rd Qu.:68.41  
 Max.   :7.954158   Max.   :92.67

散布図

基本の散布図

2 変数の関係を探索するには，統計量を計算する前に必ず散布図を描きましょう。

ggplot(df, aes(x = study_hours, y = test_score)) +
  geom_point(color = "#534AB7", alpha = 0.7) +
  labs(x = "学習時間（時間/日）", y = "テスト得点（点）") +
  theme_minimal(base_family = "YuGo-Medium")
図 1: 学習時間とテスト得点の散布図

回帰直線と信頼帯(confidence band)の追加

ggplot(df, aes(x = study_hours, y = test_score)) +
  geom_point(color = "#534AB7", alpha = 0.6) +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE,
              color = "#D85A30", fill = "#F0997B", alpha = 0.2) +
  labs(x = "学習時間（時間/日）", y = "テスト得点（点）") +
  theme_minimal(base_family = "YuGo-Medium")
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
図 2: 散布図と回帰直線（95% 信頼帯付き）

Anscombe’s Quartet：散布図を見ることの重要性

4 つのデータセットはピアソン相関係数・回帰係数がほぼ同一だが，散布図の形は全く異なる。

anscombe_long <- anscombe |>
  pivot_longer(everything(),
               names_to  = c(".value", "set"),
               names_pattern = "(.)(.)"
  )

ggplot(anscombe_long, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point(color = "#534AB7", size = 2.5, alpha = 0.8) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "#D85A30", linewidth = 0.8) +
  facet_wrap(~ paste("Dataset", set), nrow = 2) +
  labs(x = "x", y = "y",
       caption = "各データセット：r ≈ 0.82，傾き ≈ 0.50，切片 ≈ 3.00") +
  theme_minimal(base_family = "YuGo-Medium")
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
図 3: Anscombe’s Quartet：同じ統計量でも分布の形は全く異なる

相関係数だけで判断せず，散布図で分布の形を必ず確認すること。

ピアソンの積率相関係数

定義

2 つの連続変数 \(x\)，\(y\) の線形関係の強さを −1〜+1 で表す。

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum(y_i-\bar{y})^2}} \]

ピアソン相関係数は連続変数かつ線形関係を仮定している。

cor() による計算

r <- cor(df$study_hours, df$test_score, method = "pearson")
r
[1] 0.8418069

cor.test() による有意性検定

  • H₀：母相関係数 = 0（線形関係がない）
  • H₁：母相関係数 ≠ 0（α = 0.05）
result_cor <- cor.test(df$study_hours, df$test_score, method = "pearson")
result_cor

    Pearson's product-moment correlation

data:  df$study_hours and df$test_score
t = 13.773, df = 78, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.7632625 0.8958315
sample estimates:
      cor 
0.8418069

p値が十分に小さく、有意に相関があるといえる。

注意：相関係数は線形関係の強さを測る指標であり，因果関係を示すものではない。

単回帰分析（OLS）

モデル

1 つの説明変数 \(x\) で目的変数 \(y\) を説明する最も基本的な回帰モデル。

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad \varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2) \]

OLS（最小二乗法）は残差二乗和 \(\sum \varepsilon_i^2\) を最小にする \(\hat{\beta}_0\)，\(\hat{\beta}_1\) を求める。

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} \]

lm() によるモデル推定

model <- lm(test_score ~ study_hours, data = df)
summary(model)

Call:
lm(formula = test_score ~ study_hours, data = df)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-18.1335  -5.0409  -0.5601   4.1656  17.6749 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  40.4354     1.6380   24.68   <2e-16 ***
study_hours   4.8926     0.3552   13.77   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 7.226 on 78 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7086,    Adjusted R-squared:  0.7049 
F-statistic: 189.7 on 1 and 78 DF,  p-value: < 2.2e-16

出力の読み方

表 1: 回帰係数の推定結果
項目 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
切片 β̂₀ 40.4354 1.6380 24.6851 0
傾き β̂₁（study_hours） 4.8926 0.3552 13.7735 0
出力の項目 意味
Estimate（切片） \(x = 0\) のときの \(y\) の予測値
Estimate（傾き） \(x\) が 1 単位増えたときの \(y\) の変化量
Std. Error 係数推定の標準誤差（不確かさの大きさ）
t value Estimate ÷ Std. Error
Pr(>|t|) 係数 = 0 という帰無仮説への \(p\) 値
Multiple R-squared \(R^2\)：\(y\) の変動のうち回帰で説明できる割合
F-statistic モデル全体の有意性検定（単回帰では \(t^2\) に等しい）

係数の解釈

推定式：test_score = 40.44 + 4.89 × study_hours
解釈：学習時間が 1 時間増えると，テスト得点は平均 4.89 点上がる。
R² = 0.709：学習時間がテスト得点の変動の 70.9% を説明する。

予測

predict() に interval = "confidence" を指定すると，推定値の 95% 信頼区間が得られる。

new_data <- data.frame(study_hours = c(1, 3, 5, 7))

predict(model, newdata = new_data, interval = "confidence") |>
  round(2) |>
  cbind(new_data) |>
  select(study_hours, fit, lwr, upr) |>
  knitr::kable(col.names = c("学習時間", "予測得点", "下限 (95%)", "上限 (95%)"))
学習時間 予測得点 下限 (95%) 上限 (95%)
1 45.33 42.66 48.00
3 55.11 53.35 56.87
5 64.90 63.14 66.65
7 74.68 72.03 77.34

残差診断

OLS の前提（線形性・等分散性・正規性・独立性）を plot(model) で確認する。

par(mfrow = c(2, 2))
plot(model)
par(mfrow = c(1, 1))
図 4: 残差診断プロット
プロット 確認すること 理想的な状態
Residuals vs Fitted 線形性・等分散性 水平な赤線，残差にパターンなし
Normal Q-Q 残差の正規性 点が直線上に乗る
Scale-Location 等分散性 点がランダムに散らばる
Residuals vs Leverage 影響点の有無 クック距離の破線内に収まる

まとめ

表 2: Part 2 で使用した主な関数
関数 役割
ggplot() + geom_point() 散布図の描画
geom_smooth(method = ‘lm’, se = TRUE) 回帰直線と信頼帯の追加
cor(…, method = ‘pearson’) ピアソン積率相関係数の計算
cor.test(…, method = ‘pearson’) 相関係数の有意性検定（95% 信頼区間も出力）
lm(y ~ x, data) 単回帰モデルの OLS 推定
summary(model) 係数・R²・F 統計量の出力
predict(model, newdata, interval = ‘confidence’) 予測値と信頼区間の計算
plot(model) 残差診断の 4 プロット

次の段階へ向けて

単回帰の自然な拡張として，複数の説明変数を持つ重回帰分析がある。

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \cdots + \beta_k x_{ki} + \varepsilon_i \]

重回帰では偏回帰係数の解釈・多重共線性（VIF）・モデル選択（AIC）が重要になる。